باقاعدہ polyhedra: عناصر توازن اور علاقے

جیومیٹری خوبصورت ہے، کیونکہ الجبرا، جس نے ہمیشہ واضح نہیں ہے کے برعکس کیوں اور کیا آپ کو لگتا ہے کہ، ایک بصری اعتراض دیتا ہے. مختلف نکایوں کی یہ حیرت انگیز دنیا باقاعدہ polyhedra کی زینت ہیں.

باقاعدہ polyhedra پر عام معلومات

بہت باقاعدہ polyhedrons کے مطابق، یا وہ افلاطونی ٹھوس غذا کہا جاتا ہے کے طور پر، منفرد خصوصیات کے مالک. ان اشیاء کی کئی سائنسی مفروضوں منسلک کے ساتھ. آپ کے جسم کی ہندسی اعداد و شمار کے مطالعہ کرنے کے لئے شروع کرتے ہیں تو، آپ کو تقریبا باقاعدہ polyhedra طور پر اس تصور کے بارے میں کچھ پتہ نہیں ہے کہ احساس. اسکول میں ان اشیاء کی پریزنٹیشن ہمیشہ دلچسپ نہیں ہے، بہت سے، یہاں تک کہ وہ کہتے تھے کیا یاد نہیں ہے. زیادہ تر لوگوں کی یاد میں یہ صرف ایک کیوب ہے. جسم ستادوستی میں سے کوئی باقاعدہ polyhedrons جیسے کاملیت مالک نہیں ہے. یہ تمام ہندسی لاشوں کے ناموں قدیم یونان سے شروع ہوا. انہوں نے چہروں کی تعداد کی نمائندگی کرتے ہیں: tetrahedron پر - چار رخا، hexahedron - ایلن، octahedron - مثمن، dodecahedron - dodecahedral، icosahedron - icosahedral. ان ہندسی جسم کے تمام کائنات کا افلاطون کی مرکزی خیال میں ایک اہم مقام ہے. - آگ، icosahedron - پانی مکعب - زمین، octahedron - ہوا tetrahedron پر: ان میں سے چار عناصر یا اداروں مجسم کر رہے ہیں. Dodecahedron تمام چیزیں مجسم. انہوں نے کہا کہ کائنات کی ایک علامت کے طور پر اہم سمجھا جاتا تھا.

ایک polyhedron کے تصور کے سامانییکرن

Polyhedron کثیر الاضلاع طرح کی ایک محدود مجموعہ ہے:

• کثیر الاضلاع میں سے کسی کے اطراف میں سے ہر ایک کو ایک ہی وقت ایک ہی طرف ایک اور کثیرالاضلاع کے صرف ایک طرف سے ہے؛
• آپ کثیر الاضلاع (مذہب) ملحقہ گزرنے کی طرف سے دوسرے کو چل سکتا کثیر الاضلاع میں سے ہر ایک کی طرف سے.

پسلیاں - polyhedron قیام کثیر الاضلاع اس کے چہروں اور ان کی جانب نمائندگی کرتے ہیں. polyhedra vertices کے کثیر الاضلاع کی vertices ہے. اصطلاح کثیرالاضلاع فلیٹ بند کر دیا polylines ہے سمجھتے ہیں تو پھر ایک polyhedron میں سے ایک تعریف کے لئے آیا. اس اصطلاح کی طرف سے ہوائی جہاز ٹوٹ لائنز کی طرف سے جکڑے ہوئے ہے اس کا ایک حصہ مراد ہے جہاں صورت میں، یہ polygonal ٹکڑے ٹکڑے پر مشتمل سطح کی سمجھ جائے گا. محدب polyhedron جسم طیارے کے ایک طرف پر جھوٹ بول رہا ہے، اس کے چہروں سے ملحقہ کہا جاتا ہے.

ایک polyhedron اور اس کے عناصر کی ایک اور تعریف

Polyhedron ہندسی جسم کو محدود کر دیتی ہے، جو کثیر الاضلاع پر مشتمل سطح کی ملاقات کی. وہ یہ ہیں:

• غیر محدب؛
• محدب (صحیح اور غلط).

باقاعدہ polyhedron - زیادہ سے زیادہ توازن کے ساتھ ایک محدب polyhedron ہے. باقاعدہ polyhedra کے عناصر:

• tetrahedron پر: 6 پسلیاں 4 چہروں 5 vertices کے؛
• hexahedron (کیوب) 12، 6، 8؛
• dodecahedron 30، 12، 20؛
• octahedron 12، 8، 6؛
• icosahedron 30، 20، 12.

عائلر کی پرمیئ

یہ قائم کرتا کناروں، اقمات اور چہروں کی تعداد کے درمیان ایک رشتہ topologically ایک دائرے کے برابر ہیں. اقمات اور چہروں کی تعداد (B + D) ہے مختلف باقاعدہ polyhedra شامل کرنے اور پسلیوں کی تعداد کے ساتھ ان کا موازنہ، یہ ایک قاعدہ مقرر کرنا ممکن ہے: چہروں اقمات اور کناروں (P) 2. کی طرف سے اضافہ کی تعداد کے برابر کی تعداد کا مجموعہ یہ ایک سادہ فارمولا حاصل کرنا ممکن ہے:

• B + D = P + 2.

یہ فارمولا تمام محدب polyhedra لئے درست ہے.

بنیادی تعریفات

ایک باقاعدہ polyhedron کا تصور ایک جملے میں بیان کرنا ناممکن ہے. یہ زیادہ قابل قدر اور حجم ہے. ایک جسم طرح کے طور پر تسلیم کیا جائے، یہ اس کی تعریف کی ایک بڑی تعداد کے مطابق ہے کہ ضروری ہے. اس طرح، ایک ہندسی جسم ایک باقاعدہ polyhedron جب ان شرطوں ہو جائے گا:

• یہ محدب ہے؛
• پسلیوں کے اسی تعداد کو اس کی vertices کے ہر ایک میں converges؛
• ان کے تمام پہلوؤں - باقاعدگی سے کثیر الاضلاع، ایک دوسرے کے برابر؛
• تمام dihedral زاویہ برابر ہیں.

باقاعدہ polyhedra کی پراپرٹیز

باقاعدہ polyhedra کے 5 مختلف اقسام ہیں:

1. کیوب (hexahedron) - یہ ایک فلیٹ سپریم زاویہ 90 ° ہے ہے. یہ ایک 3 رخا زاویہ ہے. رقم چہرے 270 ° کی اعلی عدلیہ میں زاویہ.
2. tetrahedron پر - 60 ° - کے فلیٹ سپریم زاویہ. یہ ایک 3 رخا زاویہ ہے. 180 ° - رقم چہرے سپریم زاویہ.
3. Octahedron - 60 ° - کے فلیٹ سپریم زاویہ. یہ ایک چار رخا زاویہ ہے. 240 ° - رقم چہرے سپریم زاویہ.
4. Dodecahedron - 108 ° کی ایک فلیٹ سپریم زاویہ. یہ ایک 3 رخا زاویہ ہے. 324 ° - رقم چہرے سپریم زاویہ.
5. Icosahedron - 60 ° - اس کے ایک فلیٹ سپریم زاویہ ہے. یہ ایک پانچ رخا زاویہ ہے. رقم چہرے 300 ° کی اعلی عدلیہ میں زاویہ.

باقاعدہ polyhedra کے علاقے

ستادوستیی لاشوں کی سطح کے علاقے (S) پہلوؤں کی تعداد (گ) سے ضرب ایک باقاعدہ کثیرالاضلاع کے علاقے کے طور پر شمار کیا جاتا ہے:

• S = (ج: 2) 2G CTG π / P X.

ایک باقاعدہ polyhedron کا حجم

یہ قدر ایک باقاعدہ پرامڈ جن بیس ایک باقاعدہ کثیرالاضلاع، چہروں کی تعداد ہے کے حجم ضرب کی طرف سے شمار کیا جاتا ہے، اور اس کی اونچائی دائرہ (ر) کی لکھی ہوئی رداس ہے:

• V = 1: 3rS.

باقاعدہ polyhedra کی جلدوں

کسی دوسرے ہندسی ٹھوس، باقاعدہ polyhedra طرح مختلف جلدوں ہے. ذیل فارمولوں جس کے ذریعے وہ حساب کر سکتے ہیں:

• tetrahedron پر: α X 3√2: 12؛
• octahedron: α X 3√2: 3؛
• icosahedron؛ α ایکس 3؛
• hexahedron (کیوب): α ایکس 5 ایکس 3 ایکس (3 + √5): 12؛
• dodecahedron: α ایکس 3 (15 + 7√5): 4.

باقاعدہ polyhedra کے عناصر

Hexahedron اور octahedron ڈبل ہندسی لاشیں ہیں. دوسرے الفاظ میں، وہ ایونٹ میں ایک دوسرے سے باہر حاصل کر سکتے ہیں ایک کا centroid دوسرے کے اوپر، اور اس کے برعکس کے طور پر لیا جاتا ہے. بھی ڈبل icosahedron اور dodecahedron ہیں. خود کو tetrahedron پر ڈبل ہے. اقلیدس کے طریقہ کار کے مطابق کیوب کے چہرے پر "چھتوں" تعمیر کرکے ایک dodecahedron hexahedron سے حاصل کیا جا سکتا. tetrahedron پر کی vertices کیوب کے کسی بھی 4 vertices کے، کنارے کے ساتھ ساتھ نہ ملحقہ جوڑوں ہیں. hexahedron (کیوب) حاصل کیا جا سکتا ہے، اور دوسرے باقاعدہ polyhedra سے. اس حقیقت کے باوجود باقاعدہ کثیر الاضلاع انگت باقاعدہ polyhedra سے ہیں، صرف 5 سے ہیں.

باقاعدہ polygons کی radii کی

ان ہندسی لاشوں میں سے ہر ایک کے ساتھ منسلک concentric شعبوں 3 ہیں:

• vertices کے ذریعے گزر بیان؛
• اس کے وسط میں اس کے چہروں میں سے ہر ایک کے بارے میں لکھ دیا.
• میڈین وسط میں تمام کناروں سے متعلق.

مندرجہ ذیل فارمولے کی طرف سے بیان دائرے کا رداس شمار کیا جاتا ہے:

• R A = 2 * TG π / جی ایکس TG θ: 2.

مندرجہ ذیل کے طور پر لکھا دائرے کا رداس شمار کیا جاتا ہے:

• R A = 2 * CTG π / P X TG θ: 2،

جہاں θ - dihedral زاویہ ملحقہ پہلوؤں کے درمیان ہے.

دائرہ کا میڈین رداس مندرجہ ذیل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جا سکتا ہے:

• ρ = ایک ک π / P: 2 گناہ π / H،

جہاں ایچ 4.6، 6.10، یا 10. میں لکھا ہوا بیان radii کی کے تناسب اور symmetrically پی اور ق کے سلسلے میں کی شدت = مندرجہ ذیل کے طور پر اس سے شمار کیا جاتا ہے:

• R / R = TG π / P X TG π / Q.

polyhedra کا توازن

باقاعدہ polyhedra کا توازن ان ہندسی لاشوں کو بنیادی دلچسپی کا باعث ہے. اس vertices کے، چہروں اور کناروں کے اسی تعداد کو چھوڑ دیتا ہے جس میں خلا میں جسم کی ایک تحریک کے طور پر سمجھا جاتا ہے. دوسرے الفاظ میں، توازن کے اثر و رسوخ کے کنارے تبدیلیوں کے تحت، راس، یا چہرے کو اس کی اصل پوزیشن کو برقرار رکھتی ہے، یا کسی اور پسلی، دیگر اقمات یا چہروں کی گھر پوزیشن پر چلتا ہے.

باقاعدہ polyhedra کے توازن کے عناصر ہندسی solids کے تمام اقسام کے لئے عام ہیں. یہاں یہ اصل پوزیشن میں پوائنٹس کی کسی بھی چھوڑ دیتا ہے جس کی شناخت کی تبدیلی، پر منعقد کی جاتی ہے. لہذا، اگر آپ کی باری ہے جب polygonal PRISM کے کچھ symmetries حاصل کر سکتے ہیں. ان میں سے کوئی عکاسی کی مصنوعات کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے. توازن، مظاہر کی بھی تعداد، براہ راست ملاقات کی مصنوعات کی ہے جس میں. یہ مظاہر کے طاق کی مصنوعات کی ہے، تو یہ رائے کو کہا جاتا ہے. اس طرح، لکیر کے ارد گرد تمام موڑ سیدھے توازن نمائندگی کرتے ہیں. کوئی عکس polyhedron - معکوس توازن ہے.

بہتر باقاعدہ polyhedra کے توازن عناصر کو سمجھنے کے لئے، آپ tetrahedron پر کی مثال لے سکتے ہیں. کسی بھی لائن اقمات اور کے مرکز میں سے ایک کے ذریعے منتقل کریں گے کہ ہندسی شکل، جگہ لے، اور اس کو کنارے مخالف کے مرکز کے ذریعے کرے گا. لکیر کے ارد گرد موڑ 120 اور 240 ° کی ہر جمع tetrahedral توازن سے متعلق ہے. یہ 4 اقمات اور چہروں کے بعد سے، ہم آٹھ براہ راست symmetries کی کل حاصل. کناروں کے وسط اور جسم کے مرکز سے گزر رہا لائنوں کی کوئی، یہ مخالف کنارے کے وسط کے ذریعے گزر جاتا ہے. 180 ° کی کوئی گردش، ایک براہ راست توازن کے گرد ایک نصف باری بلایا. tetrahedron پر پسلیوں کے تین جوڑے ہے کے بعد سے، آپ کو تین براہ راست توازن ملتا ہے. مندرجہ بالا کی بنیاد پر ہم، شناخت کی تبدیلی سمیت براہ راست توازن کے اس کل تعداد، اور نتیجہ اخذ بارہ تک ہو جائے گا کر سکتے ہیں. دیگر براہ راست توازن tetrahedron پر موجود نہیں ہے، لیکن یہ 12 الٹا توازن ہے. چنانچہ صرف 24 tetrahedron پر symmetries خصوصیات. وضاحت کے لئے، ہم گتے کا بنا ایک باقاعدہ tetrahedron پر کی ایک ماڈل کی تعمیر اور اس ہندسی جسم کو واقعی صرف 24 توازن ہے کو یقینی بنانے کے کر سکتے ہیں.

Dodecahedron اور icosahedron - جسم کے علاقے کے قریب. Icosahedron چہروں کی سب سے بڑی تعداد ہے، dihedral زاویہ ہے اور سب سے زیادہ مضبوطی اتکیرن دائرے چپٹنا کر سکتے ہیں. Dodecahedron سب سے کم کونیی عیب سے بڑا ٹھوس راس میں زاویہ ہے. اس دائرے دائرے میں بھرنے کے لئے زیادہ سے زیادہ کر سکتے ہیں.

سکیننگ polyhedra

ہم سب بچپن میں ایک ساتھ پھنس گئے ہیں جس میں باقاعدہ polyhedra اسکین،، تصورات کی ایک بہت ہے. polygons کی ایک سیٹ ہے تو، جس کے ہر طرف polyhedron کے صرف ایک طرف سے نشاندہی کی جاتی ہے، پارٹیوں کی شناخت دو شرائط کے ساتھ عمل کرنا ہوگا:

• ہر ایک کثیرالاضلاع کے، آپ کی طرف کی شناخت رکھنے والے ایک کثیرالاضلاع پر جا سکتے ہیں؛
• قابل شناخت طرف ایک ہی لمبائی ہونا چاہئے.

یہ ہے کہ ان شرائط کو پورا polygons کی ایک سیٹ ہے، اور ایک polyhedron اسکین کہا جاتا ہے. ان اداروں میں سے ہر ایک ان میں سے کئی ہے. مثال کے طور پر، ایک کیوب جن میں سے 11 ٹکڑے ٹکڑے ہیں.